Född Grigori Yakovlevich Perelman
13 juni 1966 (58 års ålder)
Judiska föräldrar.
Leningrad, Sovjetunionen
(nu Sankt Petersburg, Ryssland)
Utbildning Leningrads statliga universitet (PhD)
Känd för
Bevis för själens förmodan
Bevis för Poincarés förmodan och geometrisering av 3-manifold
Utmärkelser
Pris från Sankt Petersburgs matematiska sällskap (1991)
EMS-priset (1996), avböjt
Fieldsmedaljen (2006), avböjd
Millenniumpriset (2010), avböjt
Vetenskaplig karriär
Differentiell geometri
Geometrisk analys
Geometrisk topologi
Institutioner POMI
New York University
University of California, Berkeley
Avhandling Saddle Surfaces in Euclidean Spaces (1990)
Grigori Yakovlevich Perelman född 13 juni 1966) är en rysk matematiker och geometer som är känd för sina bidrag till områdena geometrisk analys, Riemannsk geometri och geometrisk topologi. År 2005 sade Perelman upp sig från sin forskartjänst vid Steklov Institute of Mathematics och 2006 meddelade han att han hade slutat med professionell matematik, eftersom han kände sig besviken över de etiska normerna inom området. Han lever tillbakadragen i Sankt Petersburg och har avböjt intervjuförfrågningar sedan 2006.
Under 1990-talet gjorde han, delvis i samarbete med Yuri Burago, Mikhael Gromov och Anton Petrunin, bidrag till studiet av Alexandrov-rum. År 1994 bevisade han den s.k. soul conjecture i Riemannsk geometri, som hade varit ett öppet problem under de föregående 20 åren. Under 2002 och 2003 utvecklade han nya tekniker för analys av Ricci-flödet och bevisade Poincarés förmodan och Thurstons geometriseringsförmodan, varav den förra hade varit ett känt öppet problem inom matematiken under det senaste århundradet. De fullständiga detaljerna i Perelmans arbete fylldes i och förklarades av olika författare under de följande åren.
I augusti 2006 erbjöds Perelman Fieldsmedaljen för ”sina bidrag till geometrin och sina revolutionerande insikter i Ricciflödets analytiska och geometriska struktur”, men han avböjde med motiveringen ”Jag är inte intresserad av pengar eller berömmelse; jag vill inte visas upp som ett djur på ett zoo.” Den 22 december 2006 utsåg den vetenskapliga tidskriften Science Perelmans bevis för Poincarés förmodan till ’Årets vetenskapliga genombrott’, det första erkännandet av detta slag inom matematiken.
Den 18 mars 2010 tillkännagavs att han hade uppfyllt kriterierna för att få det första Clay Millennium Prize för lösningen av Poincarés förmodan. Den 1 juli 2010 tackade han nej till priset på en miljon dollar med motiveringen att han ansåg att Clay-institutets styrelse fattat ett orättvist beslut, eftersom hans bidrag till att lösa Poincarés förmodan inte var större än Richard S. Hamiltons, den matematiker som banade väg för Ricci-flödet delvis i syfte att angripa förmodan. Han hade tidigare tackat nej till European Mathematical Societys prestigefyllda pris 1996.
Grigori Yakovlevich Perelman föddes i Leningrad, Sovjetunionen (nu Sankt Petersburg, Ryssland) den 13 juni 1966 av judiska föräldrar. Yakov (som nu bor i Israel) och Lyubov (som fortfarande bor i Sankt Petersburg med Perelman). Perelmans mor Lyubov gav upp sina studier i matematik för att uppfostra honom. Perelmans matematiska talang blev uppenbar vid 10 års ålder och hans mor skrev in honom i Sergei Rukshins matematikutbildningsprogram efter skolan.
Hans matematiska utbildning fortsatte vid Leningrad Secondary School 239, en specialskola med avancerade matematik- och fysikprogram. Perelman utmärkte sig i alla ämnen utom idrott. 1982, inte långt efter sin sextonårsdag, vann han en guldmedalj som medlem i det sovjetiska laget vid den internationella matematikolympiaden i Budapest, med perfekt poäng. Han fortsatte som student vid School of Mathematics and Mechanics (den så kallade ”матмех”, dvs ”math-mech”) vid Leningrad State University, utan antagningsprov, och skrev in sig vid universitetet.
Efter sin doktorsexamen 1990 började Perelman arbeta vid Leningrad Department of Steklov Institute of Mathematics of the USSR Academy of Sciences, där hans rådgivare var Aleksandr Aleksandrov och Yuri Burago. I slutet av 1980-talet och början av 1990-talet, med en stark rekommendation från geometern Mikhail Gromov, fick Perelman forskartjänster vid flera universitet i USA. År 1991 vann Perelman priset för unga matematiker från Sankt Petersburgs matematiska sällskap för sitt arbete med Aleksandrovs rum med krökning som begränsas underifrån.1992 blev han inbjuden att tillbringa en termin vardera vid Courant Institute vid New York University, där han började arbeta med mångfalder med lägre gränser för Ricci-krökning. Därifrån accepterade han ett tvåårigt Miller Research Fellowship vid University of California, Berkeley, 1993. Efter att ha bevisat soul conjecture 1994 erbjöds han jobb vid flera toppuniversitet i USA, bland annat Princeton och Stanford, men han tackade nej till dem alla och återvände till Steklov-institutet i Sankt Petersburg sommaren 1995 för en tjänst som enbart forskare.
Under sina grundstudier behandlade Perelman frågor inom området konvex geometri. Hans första publicerade artikel studerade de kombinatoriska strukturer som uppstår vid skärningspunkter mellan konvexa polyedrar. Tillsammans med I. V. Polikanova etablerade han en måttteoretisk formulering av Hellys sats. 1987, samma år som han påbörjade sina forskarstudier, publicerade han en artikel som kontrollerade storleken på omskrivna cylindrar med storleken på inskrivna sfärer.[P87]
Negativt krökta hypersurfaces
Ytor med negativ krökning var ämnet för Perelmans doktorandstudier. Hans första resultat handlade om möjligheten att föreskriva strukturen hos negativt krökta polyhedrala ytor i det tredimensionella euklidiska rummet. Han bevisade att varje sådan metrik på planet som är fullständig kan vara kontinuerligt nedsänkt som en polyedrisk yta. Senare konstruerade han ett exempel på en slät hypersurfyta i det fyrdimensionella euklidiska rummet som är fullständig och har gaussisk krökning som är negativ och begränsad bort från noll. Tidigare exempel på sådana ytor var kända, men Perelmans var den första som uppvisade sadelegenskapen om icke-existens av lokalt strikt stödjande hyperplan. Som sådan utgjorde hans konstruktion ytterligare hinder för utvidgningen av ett välkänt teorem av Nikolai Efimov till högre dimensioner.
Alexandrov-rummen
Perelmans första arbeten som fick ett stort genomslag i den matematiska litteraturen var inom området Alexandrov-rum, vars begrepp går tillbaka till 1950-talet. I en mycket välkänd artikel tillsammans med Yuri Burago och Mikhael Gromov etablerade Perelman de moderna grunderna för detta område, med begreppet Gromov-Hausdorff-konvergens som en organiserande princip. I en opublicerad uppföljningsartikel bevisade Perelman sitt ”stabilitetsteorem”, som hävdar att i samlingen av alla Alexandrov-rum med en fast krökningsgräns är alla element i en tillräckligt liten metrisk boll runt ett kompakt rum ömsesidigt homeomorfa. Vitali Kapovitch, som beskrev Perelmans artikel som ”mycket svårläst”, skrev senare en detaljerad version av Perelmans bevis, där han använde sig av ytterligare några förenklingar.
Perelman utvecklade en version av Morse-teorin på Alexandrov-rum. Trots att Alexandrov-rummen inte är släta kunde Perelman och Anton Petrunin i ett opublicerat arbete betrakta gradientflödet för vissa funktioner. De introducerade också begreppet ”extremal delmängd” av Alexandrovrymder och visade att interiörerna av vissa extrema delmängder definierar en stratifiering av rymden med topologiska mångfalder. I ytterligare opublicerat arbete studerade Perelman DC-funktioner (skillnad av konkava funktioner) på Alexandrovrymder och fastställde att mängden regelbundna punkter har strukturen av en mångfald modellerad på DC-funktioner.
För sitt arbete med Alexandrov-rum uppmärksammades Perelman med en inbjuden föreläsning vid 1994 års International Congress of Mathematicians[P95a].
Jämförelsegeometri
År 1972 etablerade Jeff Cheeger och Detlef Gromoll sitt viktiga själsteorem. Det hävdar att varje fullständig Riemannsk metrik med icke-negativ sektionskrökning har en kompakt icke-negativt krökt delmanifold, kallad själ, vars normalbunt är diffeomorf med det ursprungliga rummet. Ur homotopiteoretisk synvinkel innebär detta att varje fullständig Riemannsk metrik med icke-negativ sektionskrökning kan anses vara sluten. Cheeger och Gromoll förmodade att om krökningen är strikt positiv någonstans, så kan själen betraktas som en enda punkt, och därmed att det ursprungliga rummet måste vara diffeomorfiskt till det euklidiska rummet. År 1994 gav Perelman ett kort bevis för Cheeger och Gromolls förmodan genom att fastställa att Sharafutdinovs retraktion är en submersion under förutsättning att sektionskrökningen är icke-negativ[P94b] Perelmans teorem är betydelsefullt genom att fastställa ett topologiskt hinder för att deformera en icke-negativt krökt metrik till en som är positivt krökt, även i en enda punkt.
En del av Perelmans arbete handlade om konstruktionen av olika intressanta Riemannska mångfalder med positiv Ricci-krökning. Han fann Riemannska metriker på den sammanhängande summan av godtyckligt många komplexa projektiva plan med positiv Ricci-krökning, begränsad diameter och volym begränsad bort från noll.[P97b] Han fann också en explicit fullständig metrik på det fyrdimensionella euklidiska rummet med positiv Ricci-krökning och euklidisk volymtillväxt, och så att den asymptotiska konen är icke-enkelt definierad.
Perelmans arbete
I november 2002 och mars 2003 publicerade Perelman två preprints på arXiv, i vilka han påstod sig ha skisserat ett bevis för Thurstons förmodan. I ett tredje papper som publicerades i juli 2003 skisserade Perelman ytterligare ett argument, tillräckligt för att bevisa Poincarés förmodan (men inte Thurstons förmodan), poängen var att undvika det mest tekniska arbetet i hans andra preprint.
Perelmans första preprint innehöll två primära resultat, som båda hade med Ricci-flödet att göra. Det första, giltigt i alla dimensioner, baserades på en ny anpassning av Peter Li och Shing-Tung Yaus differentiella Harnack-olikheter till Ricci-flödet.Genom att bevisa Bishop-Gromov-olikheten för den resulterande Li-Yau-längdfunktionen etablerade Perelman sitt berömda ”icke-kollapsande teorem” för Ricci-flödet, som hävdar att lokal kontroll av krökningens storlek innebär kontroll av volymerna. Betydelsen av noncollapsing-teoremet är att volymkontroll är en av förutsättningarna för Hamiltons kompakthetsteorem. Som en följd av detta kan Hamiltons kompakthet och den motsvarande existensen av underordnade gränser tillämpas något fritt.
”The canonical neighborhoods theorem” är det andra huvudresultatet i Perelmans första preprint. I detta teorem uppnådde Perelman den kvantitativa förståelse av singulariteter i tredimensionella Ricci-flöden som Hamilton hade undgått. Grovt sett visade Perelman att på en mikroskopisk nivå ser varje singularitet ut antingen som en cylinder som kollapsar mot sin axel eller som en sfär som kollapsar mot sitt centrum. Perelmans bevis för sitt kanoniska grannskapsteorem är en mycket teknisk bedrift, baserad på omfattande motsägelseargument där Hamiltons kompakthetsteorem (som underlättas av Perelmans icke-kollapsande teorem) används för att konstruera självmotsägande mångfalder.
Andra resultat i Perelmans första preprint inkluderar introduktionen av vissa monotona storheter och ett ”pseudolokalitetsteorem” som relaterar krökningskontroll och isoperimetri. Trots att dessa resultat var viktiga för teorin om Ricci-flödet användes de inte i resten av hans arbete.
I den första halvan av Perelmans andra preprint används, förutom att korrigera några felaktiga påståenden och argument från den första artikeln, hans kanoniska grannskapsteorem för att konstruera ett Ricci-flöde med kirurgi i tre dimensioner, där singulära regioner systematiskt skärs bort allteftersom de utvecklas. Som en omedelbar följd av sin konstruktion löste Perelman en viktig förmodan om den topologiska klassificeringen i tre dimensioner av slutna mångfalder som medger metriker med positiv skalärkurvatur. Hans tredje preprint (eller alternativt Colding och Minicozzis arbete) visade att i alla rum som uppfyller antagandena i Poincarés förmodan existerar Ricciflödet med kirurgi endast under ändlig tid, så att analysen av Ricciflödet under ändlig tid är irrelevant. Konstruktionen av Ricci-flödet med kirurgi har Poincarés förmodan som en följdfråga.
För att lösa Thurston-konjekturen ägnas den andra halvan av Perelmans andra preprint åt en analys av Ricci-flöden med kirurgi, som kan existera i oändlig tid. Perelman kunde inte lösa Hamiltons förmodan från 1999 om långtidsbeteende, vilket skulle göra Thurstons förmodan till en annan följd av existensen av Ricci-flöden med kirurgi. Perelman kunde ändå anpassa Hamiltons argument till de exakta villkoren för hans nya Ricci-flöde med kirurgi. I slutet av Hamiltons argument användes Jeff Cheegers och Mikhael Gromovs teorem som karakteriserar kollapsande mångfalder. I Perelmans anpassning krävde han användning av ett nytt teorem som karakteriserar mångfalder där kollaps endast antas på lokal nivå. I sitt preprint sa han att beviset för hans teorem skulle etableras i ett annat papper, men han släppte sedan inte några ytterligare detaljer. Bevis publicerades senare av Takashi Shioya och Takao Yamaguchi, John Morgan och Gang Tian, Jianguo Cao och Jian Ge, och Bruce Kleiner och John Lott.
Se även film på youtube
https://youtu.be/CTQcLi6SpX8?si=4vNifQgJoxAJwqBu
LÄMNA KOMMENTAR